Flatlandia descrive come apparirebbe la vita quotidiana in un mondo a due sole dimensioni, piatto come una carta geografica.
Gli abitanti di Flatlandia sono poligoni piani regolari ( triangoli, quadrati, pentagoni, ecc..) il cui rango sociale dipende dal numero degli angoli; i più elevati socialmente sono i sacerdoti, di forma circolare; nel gradino più basso sono le donne, semplici segmenti di retta.
Essendo tutti “schiacciati” sul piano essi non possono osservare direttamente le forme geometriche e gli angoli dei loro concittadini, ma possono solo dedurle dalle loro proiezioni uni-dimensionali: segmenti costanti (cerchi ), segmenti variabili ( lati dei poligoni ), punti ( donne di profilo ).
Una Sfera proveniente da Spacelandia, il mondo a tre dimensioni, decide di visitare questo mondo a sole due dimensioni ed incontra un Quadrato.
Intersecando il piano di Flatlandia la Sfera produce sezioni circolari che variano di ampiezza man mano che la sfera scende; prima un solo punto, quando la sfera tocca il piano, poi una sezione sempre più grande finché si arriva al cerchio massimo; in seguito la sezione diminuisce per ridiventare un punto. La Sfera è ‘passata’ attraverso il piano. Quell’oggetto, la Sfera, è sempre eguale, invariante, ma si trasforma continuamente sezionandosi con il piano.
Il Quadrato vede solo il ‘profilo’ della sezione, in quanto non la può vedere dall’alto e perciò, percependo solo una linea che aumenta di lunghezza e poi diminuisce sino a sparire, non capisce il fenomeno a cui sta assistendo e ne resta terrorizzato: ” Un orrore indicibile s’impossessò di me. Dapprima l’oscurità; poi una visione annebbiata, stomachevole, che non era vedere; e vedevo una Linea che non era una Linea; uno Spazio che non era uno Spazio; io ero io, e non ero io……Questa è follia o l’Inferno!”.
Per convincere il Quadrato dell’esistenza della terza dimensione la Sfera sarà costretta a trasportarlo fuori dal piano della sua vita bidimensionale.
Lo schiavo di Platone vive un’esperienza simile a questa, passando dal modo piatto delle ombre a quello tridimensionale degli oggetti.
Noi, esseri tridimensionali, dovremmo, invece, immaginare un mondo a quattro dimensioni, che interferisce con il nostro producendo sezioni che ci appaiono sotto forma di oggetti tridimensionali.